Владимир Игоревич Арнольд — выдающийся советский и российский математик. Доктор физико-математических наук. Академик Российской академии наук. Иностранный член Национальной академии наук США, Французской академии наук, Лондонского королевского общества, Национальной академии деи Линчеи, почётный член Лондонского математического общества, иностранный член Американского философского общества, а также Американской академии искусств и наук. Почётный доктор университетов Пьера и Марии Кюри (Париж), Уорика (Ковентри), Утрехта, Болоньи, Торонто, Комплутенсе (Мадрид). Лауреат Ленинской и государственной премий.

Новый обскурантизм 
и Российское просвещение

Моему Учителю — Андрею Николаевичу Колмогорову посвящаю

"Не тронь мои круги" — сказал Архимед убивавшему его римскому солдату. Эта пророческая фраза вспомнилась мне в Государственной Думе, когда председательствовавший на заседании Комитета по образованию (22 октября 2002 года) прервал меня словами: "У нас не Академия наук, где можно отстаивать истины, а Государственная Дума, где всё основано на том, что у разных людей по разным вопросам разные мнения".

Мнение, которое я отстаивал, состояло в том, что трижды семь — двадцать один, и что обучение наших детей как таблице умножения, так и сложению однозначных чисел и даже дробей — государственная необходимость. Я упомянул о недавнем введении в штате Калифорния (по инициативе нобелевского лауреата, специалиста по трансурановой физике Глена Сиборга) нового требования к поступающим в университеты школьникам: нужно уметь самостоятельно делить число 111 на 3 (без компьютера).

Слушатели в Думе, видимо, разделить не смогли, а потому не поняли ни меня, ни Сиборга: в "Известиях" при доброжелательном изложении моей фразы число "сто одиннадцать" заменили на "одиннадцать" (от чего вопрос становится гораздо более трудным, так как одиннадцать на три не делится).

С торжеством обскурантизма я столкнулся, прочитав в "Независимой газете" прославляющую вновь построенные под Москвой пирамиды статью "Ретрограды и шарлатаны", где

Российская Академия Наук объявлялась собранием тормозящих развитие наук ретроградов (напрасно пытающихся всё объяснять своими "законами природы"). Должен сказать, что я, видимо, тоже ретроград, так как всё ещё верю в законы природы и считаю, что Земля вертится вокруг своей оси и вокруг Солнца, и что младшим школьникам нужно продолжать объяснять, почему зимой холодно, а летом тепло, не позволяя уровню нашего школьного образования опускаться ниже достигавшегося в церковно-приходских школах до революции (а именно к подобному снижению уровн образования стремятся, ссылаясь на действительно низкий американский школьный уровень, наши нынешние реформаторы).

Американские коллеги объяснили мне, что низкий уровень общей культуры и школьного образования в их стране — сознательное достижение ради экономических целей. Дело в том, что, начитавшись книг, образованный человек становится худшим покупателем: он меньше покупает и стиральных машин, и автомобилей, начинает предпочитать им Моцарта или Ван Гога, Шекспира или теоремы. От этого страдает экономика общества потребления и, прежде всего, доходы хозяев жизни — вот они и стремятся не допустить культурности и образованности (которые, вдобавок, мешают им манипулировать населением, как лишённым интеллекта стадом).

Столкнувшись с антинаучной пропагандой и в России, я решил посмотреть на пирамиду, построенную недавно километрах в двадцати от моего дома, и поехал туда на велосипеде через вековые сосновые леса междуречья Истры и Москвы-реки. Здесь мне встретилась трудность: хотя Пётр Великий и запретил вырубать леса ближе двухсот вёрст от Москвы, на моём пути недавно огородили и изуродовали несколько лучших квадратных километров соснового бора (как мне объяснили местные деревенские жители, это сделал "известный [всем, кроме меня! — В. А.] бандит Пашка"). А ведь ещё лет двадцать назад, когда я добирал на этой застроенной теперь просеке ведро

малины, меня обошло, сделав полукруг метров десяти радиусом, целое стадо шедших по просеке кабанов.

Подобные застройки идут сейчас всюду. Недалеко от моего дома в своё время население не допустило (используя даже телевизионные протесты) застройку леса монгольскими и другими чиновниками. Но с тех пор положение изменилось: бывшие раньше правительственно-партийными посёлки захватывают у всех на глазах новые квадратные километры древнего леса, и никто уже и не протестует (в средневековой Англии "огораживания" вызывали восстания!).

Правда, в соседнем со мной селе Солослове против застройки леса пытался возражать один член сельсовета. И тогда среди бела дня приехала машина с вооружёнными бандитами, которые его прямо в деревне, дома и застрелили. И застройка в результате состоялась.

В другой соседней деревне, Дарьине, новой застройке особняками подверглось целое поле. Отношение народа к этим событиям ясно из имени, которое они в деревне дали этому застроенному полю (имени, к сожалению, ещё не отражённому на картах): "воровское поле".

Новые автомобилизированные жители этого поля превратили в свою противоположность ведущее от нас на станцию Перхушково шоссе. Автобусы по нему за последние годы почти перестали ходить. Вначале новые жители-автомобилисты собирали на конечной станции деньги для водителя автобуса, чтобы он объявлял автобус "неисправным" и пассажиры платили бы частникам. По этому шоссе носятся теперь с огромной скоростью (и по чужой, часто, полосе) автомобили новых жителей "поля". И я, идя на станцию за пять вёрст пешком, рискую быть сшибленным, подобно моим многочисленным предшественникам-пешеходам, места гибели которых были ещё недавно отмечены на обочинах венками. Электрички, впрочем, теперь тоже порой не останавливаются на предусмотренных расписанием станциях.

Прежде милиция пыталась измерять скорость убийц-автомобилистов и препятствовать им, но после того, как измерявший скорость радаром милиционер был застрелен охранником проезжавшего, останавливать автомобили никто больше не решается. Время от времени я нахожу прямо на шоссе стреляные гильзы, но в кого здесь стреляли — не ясно. Что же касается венков над местами гибели пешеходов, то все их недавно заменили объявлениями "Свалка мусора запрещена", повешенными на тех же деревьях, где прежде были венки с именами сваленных.

По старинной тропе от Аксиньина до Чеснокова, используя гати, проложенные ещё Екатериной II, я добрался до пирамиды и увидел внутри неё "стеллажи для зарядки бутылок и других объектов оккультной интеллектуальной энергией". Инструкция в несколько квадратных метров величиной перечисляла пользу от несколькочасового пребывания предмета или больного гепатитом А или В в пирамиде (в газете я читал, что кто-то даже отправил за народные деньги многокилограммовый груз "заряженных" пирамидой камней на космическую станцию).

Но составители этой инструкции проявили и неожиданную для мен честность: они написали, что толпиться в очереди к стеллажам внутри пирамиды не стоит, так как <в десятках метров от пирамиды, снаружи, эффект будет таким же". Это, я думаю, — совершенная правда.

Так что, как настоящий "ретроград", я считаю всё это пирамидальное предприятие вредной антинаучной рекламой магазина по продаже "объектов для заряжания".

Но обскурантизм шёл вслед за научными достижениями всегда, начиная с древности. Ученик Аристотеля, Александр Филиппович Македонский, сделал ряд "научных" открытий (описанных его спутником, Арианом, в "Анабазисе"). Например, он открыл исток реки Нил: по его словам, это Инд. "Научные" доказательства были такими: " Это — единственные две большие реки, которые кишмя кишат крокодилами" (и подтверждение: "Вдобавок, берега обеих рек заросли лотосами").

Впрочем, это не единственное его открытие: он "обнаружил", также, что река Оксус (сегодня называемая Аму-Дарьёй) "впадает — с севера, повернув около Урала, — в Меотийское болото понта Эвксинского, где и называется Танаисом" ("Та-наис" — это Дон, а "Меотийское болото" — Азовское море). Влияние обскурантистских идей на события не всегда ничтожно:

Александр из Согдианы (то есть Самарканда) пошёл не дальше на Восток, в Китай, как он сперва хотел, а на юг, в Индию, опасаясь водной преграды, соединяющей, по его третьей теории, Каспийское ("Гирканское") море с Индийским океаном (в районе Бенгальского залива). Ибо он считал, что моря, "по определению", — это заливы океана. Вот к каким "наукам" нас ведут.

Хочется выразить надежду, что наши военные столь сильному влиянию обскурантистов не подвергнутся (они даже помогли мне спасти геометрию от попыток "реформаторов" изгнать её из школы). Но и сегодняшние попытки понизить уровень школьного обучения в России до американских стандартов крайне опасны и для страны, и для мира.

В сегодняшней Франции 20% новобранцев в армии полностью безграмотны, не понимают письменных приказов офицеров (и могут послать свои ракеты с боеголовками совсем не в ту сторону). Да минует нас чаша сия! Наши пока ещё читают, но "реформаторы" хотят это прекратить: "И Пушкин, и Толстой — это слишком много!" — пишут они.

Описывать, как планируют они ликвидировать наше традиционно высококачественное математическое школьное образование, мне, как математику, было бы слишком легко. Перечислю вместо этого несколько аналогичных мракобесных идей, касающихся обучения другим предметам: экономике, праву, обществоведению, литературе (предметы, правда, они предлагают вообще все в школе отменить).

В опубликованном Министерством образования России двухтомном проекте "Стандартов общего образования" приведён большой список тем, знания которых у обучаемых предлагается перестать требовать. Именно этот список даёт самое яркое представление об идеях "реформаторов" и о том, от каких "излишних" знаний они стремятся "защитить" следующие поколения.

Я воздержусь от политических комментариев, но вот типичные примеры якобы "излишних" сведений, выписанные из четырёхсотстраничного проекта "Стандарты":

• Конституция СССР;
• фашистский "новый порядок" на оккупированных территориях;
• Троцкий и троцкизм;
• основные политические партии;
• христианская демократия;
• инфляция;
• прибыль;
• валюта;
• ценные бумаги;
• многопартийность;
• гарантии прав и свобод;
• правоохранительные органы;
• деньги и другие ценные бумаги;
• формы государственно-территориального устройства Российской Федерации;
• Ермак и присоединение Сибири;
• внешняя политика России (XVII, XVIII, XIX и XX веков);
• польский вопрос;
• Конфуций и Будда;
• Цицерон и Цезарь;
• Жанна д'Арк и Робин Гуд;
• физические и юридические лица;
• правовой статус человека в демократическом правовом государстве;
• разделение властей;
• судебная система;
• самодержавие, православие и народность (теория Уварова);
• народы России;
• христианский и исламский мир;
• Людовик XIV;
• Лютер;
• Лойола;
• Бисмарк;
• Государственная Дума;
• безработица;
• суверенитет;
• фондовый рынок (биржа);
• доходы государства;
• доходы семьи.

"Обществоведение", "история", "экономика" и "право", лишённые обсуждения всех этих понятий — просто формальные богослужения, бесполезные для обучаемых. Во Франции я опознаю такого рода теологическую болтовню на абстрактные темы по ключевому набору слов: "Франция, как старша дочь католической церкви..." (далее может следовать что угодно, например: "... не нуждается в расходах на науку, так как учёные у нас уже были и ещё есть"), как я это слышал на заседании Национального Комитета Республики Франции по Науке и Исследованиям, членом которого меня назначил Министр Науки, Исследований и Технологии Республики Франции.

Чтобы не быть односторонним, приведу ещё список "нежелательных" (в том же смысле "недопустимости" серьёзного их изучения) авторов и произведений, упоминаемых в этом качестве позорным "Стандартом":

• Глинка;
• Чайковский;
• Бетховен;
• Моцарт;
• Григ;
• Рафаэль;
• Леонардо да Винчи;
• Рембрандт;
• Ван Тог;
• Омар Хайям;
• "Том Сойер";
• "Оливер Твист";
• Сонеты Шекспира;
• "Путешествие из Петербурга в Москву" Радищева;
• "Стойкий оловянный солдатик";
• "Гобсек";
• "Отец Горио";
• "Отверженные";
• "Белый клык";
• "Повести Белкина";
• "Борис Годунов";
• "Полтава";
• "Дубровский";
• "Руслан и Людмила";
• "Свинья под дубом";
• "Вечера на хуторе близ Диканьки";
• "Лошадиная фамилия";
• "Кладовая солнца";
• "Мещёрская сторона";
• "Тихий Дон";
• "Пигмалион";
• "Гамлет";
• "Фауст";
• "Прощай, оружие";
• "Дворянское гнездо";
• "Дама с собачкой";
• "Попрыгунья";
• "Облако в штанах";
• "Чёрный человек";
• "Бег";
• "Раковый корпус";
• "Ярмарка тщеславия";
• "По ком звонит колокол";
• "Три товарища";
• "В круге первом";
• "Смерть Ивана Ильича".

Иными словами, Русскую Культуру предлагают отменить как таковую. Школьников стараются "защитить" от влияния "излишних", по мнению "Стандартов", центров культуры; таковыми здесь оказалисьнежелательные, по мнению составителей "Стандартов", для упоминани учителями в школе:

• Эрмитаж;
• Русский музей;
• Третьяковская галерея;
• Пушкинский музей Изобразительных искусств в Москве.

Колокол звонит по нам!

Трудно всё же удержаться и совсем не упомянуть, что именно предлагается сделать "необязательным для обучения" в точных науках (во всяком случае, "Стандарты" рекомендуют "не требовать от школьников усвоения этих разделов"):

• строение атомов;
• понятие дальнодействия;
• устройство глаза человека;
• соотношение неопределённостей квантовой механики;
• фундаментальные взаимодействия;
• звёздное небо;
• Солнце как одна из звёзд;
• клеточное строение организмов;
• рефлексы;
• генетика;
• происхождение жизни на Земле;
• эволюция живого мира;
• теории Коперника, Галилея и Джордано Бруно;
• теории Менделеева, Ломоносова, Бутлерова;
• заслуги Пастера и Коха;
• натрий, кальций, углерод и азот (их роль в обмене веществ);
• нефть;
• полимеры.

Из математики такой же дискриминации подверглись в "Стандартах" и темы, без которых не сможет обойтись ни один учитель (и без полного понимания которых школьники будут полностью беспомощными и в физике, и в технике, и в огромном числе других приложений наук, в том числе и военных, и гуманитарных):

• необходимость и достаточность;
• геометрическое место точек;
• синусы углов в 30^o, 45^o, 60^o;
• построение биссектрисы угла;
• деление отрезка на равные части;
• измерение величины угла;
• понятие длины отрезка;
• сумма членов арифметической прогрессии;
• площадь сектора;
• обратные тригонометрические функции;
• простейшие тригонометрические неравенства;
• равенства многочленов и их корни;
• геометрия комплексных чисел (необходимая и для физики переменного тока, и для радиотехники, и для квантовой механики);
• задачи на построение;
• плоские углы трёхгранного угла;
• производная сложной функции;
• превращение простых дробей в десятичные.

Надежду вселяет лишь то, что существующие пока тысячи прекрасно подготовленных учителей будут продолжать выполнять свой долг и обучать всему этому новые поколени школьников, несмотря на любые приказы Министерства. Здравый смысл сильнее бюрократической дисциплины. Надо только не забывать нашим замечательным учителям достойно платить за их подвиг.

Представители Думы объяснили мне, что положение можно было бы, сильно улучшить, если бы озаботиться об исполнении принятых уже законов об образовании.

Следующее описание состояни дел было изложено депутатом И. И. Мельниковым в его докладе в Математическом Институте им. В. А. Стеклова Российской Академии Наук в Москве осенью 2002 года.

Например, один из законов предусматривает ежегодное увеличение бюджетного вклада в обучение примерно на 20% в год. Но министр сообщил, что "заботиться об исполнении этого закона не стоит, так как практически ежегодное увеличение происходит больше, чем на 40%". Вскоре после этой речи министра было объявлено практически реализуемое на ближайший (это был 2002) год увеличение (на гораздо меньший процент). А если ещё учесть инфляцию, то, оказывается, принято было решение об уменьшении реального годового вклада в образование.

Другой закон указывает процент расходов бюджета, который должен тратиться на образование. Реально тратится гораздо меньшее (во сколько именно раз, узнать точно я не сумел). Зато расходы на "оборону от внутреннего врага" повысились от трети до половины расходов на оборону от врага внешнего.

Естественно перестать учить детей дробям, а то ведь, не дай Бог, поймут!

По-видимому, именно в предвидении реакции учителей составители "Стандарта" снабдили ряд имён писателей в своём списке рекомендованного чтения (вроде имён Пушкина, Крылова, Лермонтова, Чехова и тому подобных) знаком "звёздочка", расшифровываемым ими как: "По своему желанию учитель может познакомить учеников ещё с одним или двумя произведениями того же автора" (а не только с "Памятником", рекомендованным ими в случае Пушкина).

Более высокий по сравнению с заграничным уровень нашего традиционного математического образования стал для меня очевиден только после того, как я смог сравнить этот уровень с зарубежным, проработав немало семестров в университетах и колледжах Парижа и Нью-Йорка, Оксфорда и Кембриджа, Пизы и Болоньи, Бонна и Беркли, Стэнфорда и Бостона, Гонконга и Киото, Мадрида и Торонто, Марселя и Страсбурга, Утрехта и Рио-де-Жанейро, Конакри и Стокгольма.

"Мы никак не можем следовать твоему принципу — выбирать кандидатов по их научным достижениям", — сказали мне коллеги в комиссии по приглашению новых профессоров в один из лучших университетов Парижа. — "Ведь в этом случае нам пришлось бы выбирать одних только русских — настолько их научное превосходство нам всем ясно!" (я же говорил при этом об отборе среди французов).

Рискуя быть понятым одними только математиками, я приведу всё же примеры ответов лучших кандидатов на профессорскую должность математика в университете в Париже весной 2002 года (на каждое место претендовало 200 человек).

Кандидат преподавал линейную алгебру в разных университетах уже несколько лет, защитил диссертацию и опубликовал с десяток статей в лучших математических журналах Франции.

Отбор включает собеседование, где кандидату предлагаются всегда элементарные, но важные вопросы (уровня вопроса "Назовите столицу Швеции", если бы предметом была география).

Итак, я спросил: "Какова сигнатура квадратичной формы xy?"

Кандидат потребовал положенные ему на раздумье 15 минут, после чего сказал: "В моём компьютере в Тулузе у меня есть рутина (программа), которая за час-другой могла бы узнать, сколько будет плюсов и сколько минусов в нормальной форме. Разность этих двух чисел и будет сигнатурой — но ведь вы даёте только 15 минут, да без компьютера, так что ответить я не могу, эта форма ху уж слишком сложна".

Для неспециалистов поясню, что, если бы речь шла о зоологии, то этот ответ был бы аналогичен такому: "Линней перечислил всех животных, но является ли берёза млекопитающей или нет, без книги ответить не могу".

Следующий кандидат оказался специалистом по "системам эллиптических уравнений в частных производных" (полтора десятка лет после защиты диссертации и более двадцати опубликованных работ).

Этого я спросил: "Чему равен лапласиан от функции 1/r в трёхмерном евклидовом пространстве?"

Ответ (через обычные 15 минут) был для меня поразительным; "Если бы r стояло в числителе, а не в знаменателе, и производна требовалась бы первая, а не вторая, то я бы за полчаса сумел посчитать её, а так — вопрос слишком труден".

Поясню, что вопрос был из теории эллиптических уравнений типа вопроса "Кто автор "Гамлета"?" на экзамене по английской литературе. Пытаясь помочь, я задал ряд наводящих вопросов (аналогичных вопросам об Отелло и об Офелии): "Знаете ли Вы, в чём состоит закон Всемирного тяготения? Закон Кулона? Как они связаны с лапласианом? Какое у уравнения Лапласа фундаментальное решение?"

Но ничего не помогало: ни Макбет, ни Король Лир не были известны кандидату, если бы шла речь о литературе.

Наконец, председатель экзаменационной комиссии объяснил мне, в чём дело: "Ведь кандидат занимался не одним эллиптическим уравнением, а их системами, а ты спрашиваешь его об уравнении Лапласа, которое всего одно — ясно, что он никогда с ним не сталкивался!"

В литературной аналогии это "оправдание" соответствовало бы фразе: "Кандидат изучал английских поэтов, откуда же ему знать Шекспира, ведь он — драматург!"

Третий кандидат (а опрашивались десятки их) занимался "голоморфными дифференциальными формами", и его я спросил: "Какова риманова поверхность тангенса?" (об арктангенсе спрашивать я побоялся).

Ответ: "Римановой метрикой называется квадратичная форма от дифференциалов координат, но какая форма связана с функцией "тангенс", мне совершенно не ясно".

Поясню опять образцом аналогичного ответа, заменив на этот раз математику историей (к которой более склонны митрофаны). Здесь вопрос был бы: "Кто такой Юлий Цезарь?", а ответ: "Цезарями называли властителей Византии, но Юлия я среди них не знаю".

Наконец, появился вероятностник-кандидат, интересно рассказывавший о своей диссертации. Он доказал в ней, что утверждение "справедливы вместе А и B" неверно (сами утверждения А и Вформулируются длинно, так что здесь я их не воспроизвожу).

Вопрос: "А всё же, как обстоит дело с утверждением A самим по себе, без В: верно оно или нет?"

Ответ: "Ведь я же сказал, что утверждение "A и В" неверно. Это означает, что A тоже неверно". То есть: "Раз неверно, что "Петя с Мишей заболели холерой", то Петя холерой не заболел".

Здесь моё недоумение опять рассеял председатель комиссии: он объяснил, что кандидат — не вероятностник, как я думал, а статистик (в биографии, называемой CV, стоит не "proba", a "stat").

"У вероятностников, — объяснил мне наш опытный председатель, — логика нормальная, такая же, как у математиков, аристотелевская. У статистиков же она совершенно другая: недаром же говорят "есть ложь, наглая ложь и статистика". Все их рассуждения бездоказательны, все их заключения ошибочны. Но зато они всегда очень нужны и полезны, эти заключения. Этого статистика нам обязательно надо принять!"

Специалиста по голоморфным формам тоже одобрили. Довод был ещё проще: "Курс голоморфных функций нам читал (в элитарной Высшей Нормальной Школе) знаменитый профессор Анри Картан, и там римановых поверхностей не было!" — сказал мне председатель. И добавил: "Если я и выучился римановым поверхностям, то только двадцать лет спустя, когда они мне понадобились для работы (в финансовой математике). Так что незнакомство с ними — отнюдь не недостаток кандидата!"

В Московском Университете такой невежда не смог бы окончить третий курс механико-математического факультета. Римановы поверхности считал вершиной математики ещё основатель Московского Математического общества Н. Бугаев (отец Андрея Белого). Он, правда, считал, что в современной ему математике конца XIX века начали появляться не укладывающиеся в русло этой старой теории объекты — неголоморфные функции действительных переменных, являющиеся, по его мнению, математическим воплощением идеи свободной воли в той же мере, в какой римановы поверхности и голоморфные функции воплощают идею фатализма и предопределённости.

В результате этих размышлений Бугаев послал молодых москвичей в Париж, чтобы они выучились там новой "математике свободной воли" (у Бореля и Лебега). Эту программу блестяще выполнил Н. Н. Лузин, создавший по возвращении в Москву блестящую школу, включающую всех основных московских математиков многих десятилетий: Колмогорова и Петровского, Александрова и Понтрягина, Меньшова и Келдыш, Новикова и Лаврентьева, Гельфанда и Люстерника.

Между прочим, Колмогоров рекомендовал мне впоследствии выбранную себе Лузиным в Латинском квартале Парижа гостиницу "Паризиана" (на улице Турнефор, недалеко от Пантеона). Во время Первого Европейского Математического Конгресса в Париже (1992) остановился в этой недорогой гостинице (с удобствами на уровне XIX века, без телефона и так далее). И престарелая хозяйка этой гостиницы, узнав, что я приехал из Москвы, сейчас же спросила меня: "А как там поживает мой старый постоялец, Лузин? Жалко, что он давно не навещал нас".

Через пару лет гостиницу закрыли на ремонт (хозяйка, вероятно, умерла) и стали перестраивать на американский лад, так что теперь этот островок XIX века в Париже уже не увидишь.

Возвращаясь к выбору профессоров 2002 года, замечу, что все перечисленные выше невежды получили (у всех, кроме меня) самые хорошие оценки. Напротив того, был почти единодушно отвергнут единственный, на мой взгляд, достойный кандидат. Он открыл (при помощи "базисов Грёбнера" и компьютерной алгебры) несколько десятков новых вполне интегрируемых систем гамильтоновых уравнений математической физики (получив заодно, но не включив в список новых, и знаменитые уравнения Кортевега-де Фриза, Сайн-Гордон и тому подобное).

В качестве своего проекта на будущее кандидат предложил также новый компьютерный метод моделирования лечения диабета. На мой вопрос об оценке его метода врачами он ответил совершенно разумно: "Метод сейчас проходит апробацию в таких-то центрах и больницах, и через полгода они дадут свои заключения, сравнив результаты с другими методами и с контрольными группами больных, а пока эта экспертиза не проведена, и есть только лишь предварительные оценки, правда, Хорошие".

Отвергли его с таким объяснением: "На каждой странице его диссертации упомянуты либо группы Ли, либо алгебры Ли, а у нас этого никто не понимает, так что он к нашему коллективу совершенно не подойдёт". Правда, так можно было бы отвергнуть и меня, и всех моих учеников, но некоторые коллеги думают, что причина отклонения была иной: в отличие от всех предыдущих кандидатов, этот не был французом (он был учеником известного американского профессора из Миннесоты).

Вся описанная картина наводит на грустные мысли о будущем французской науки, в частности математики. Хотя "Национальный Комитет Франции по Науке" склонялся к тому, чтобы новые научные исследования вовсе не финансировать, а потратить (предоставляемые Парламентом для развития науки) деньги на закупку готовых американских рецептов, я резко выступил против этой самоубийственной политики и добился всё же хотя бы некоторого субсидирования новых исследований. Трудность вызвал, однако, делёж денег. Недостойными субсидирования были последовательно признаны голосованием (в течение пятичасового заседания) медицина, атомная энергетика, химия полимеров, вирусология, генетика, экология, охрана окружающей среды, захоронение радиоактивных отходов и многое другое. В конце концов всё же выбрали три "науки", якобы заслуживающие финансировани своих новых исследований. Вот эти три "науки": 1) СПИД; 2) психоанализ; 3) сложная отрасль фармацевтической химии, научное название которой я воспроизвести не в силах, но которая занимается разработкой психотропных препаратов, подобных лакримогенному газу, превращающих восставшую толпу в послушное стадо.

Так что теперь Франция спасена!

Из всех учеников Лузина наиболее замечательный вклад в науку внёс, по моему мнению, Андрей Николаевич Колмогоров. Выросший в деревне у деда под Ярославлем, Андрей Николаевич с гордостью относил к себе слова Гоголя "расторопный рославский мужик".

Стать математиком он вовсе не собирался, даже уже поступив в Московский Университет, где он сразу же стал заниматься историей (в семинаре профессора Бахрушина) и, не достигнув и двадцати лет, написал свою первую научную работу.

Эта работа была посвящена исследованию земельных экономических отношений в средневековом Новгороде. Здесь сохранились налоговые документы, и анализ огромного количества этих документов статистическими методами привёл молодого историка к неожиданным заключениям, о которых он и рассказал на заседании Бахрушина.

Доклад был очень удачным, и докладчика много хвалили. Но он настаивал на другом одобрении: ему хотелось, чтобы его выводы были признаны правильными.

В конце концов Бахрушин сказал ему: "Этот доклад обязательно нужно опубликовать; он очень интересен. Но что касается выводов, то у нас, историков, для признания какого-либо вывода всегда нужно не одно доказательство, а по меньшей мере пять!"

На следующий день Колмогоров сменил историю на математику, где одного доказательства хватает. Доклад же он не опубликовал, и этот текст так и лежал в его архиве, пока, после смерти Андрея Николаевича, он не был показан современным историкам, которые признали его не только очень новым и интересным, но и вполне доказательным. Теперь этот доклад Колмогорова опубликован, и рассматривается сообществом историков как выдающийся вклад в их науку.

Сделавшись профессиональным математиком, Колмогоров остался, в отличие от большинства из них, прежде всего естествоиспытателем и мыслителем, а вовсе не умножателем многозначных чисел (что главным образом представляется при анализе деятельности математиков незнакомым с математикой людям, включая даже Л.Д.Ландау, ценившего в математике именно продолжение счётного мастерства: пятью пять — двадцать пять, шестью шесть — тридцать шесть, семью семь — сорок семь, как я прочитал в пародии на Ландау, составленной его физтеховскими учениками; впрочем, в письмах Ландау ко мне, бывшему тогда студентом, математика не логичнее, чем в этой пародии).

Маяковский писал: "Ведь зато он может ежесекундно извлекать квадратный корень" (о профессоре, которому "не нудно, что под окном приготовишки деятельно ходят в гимназию").

Но он же прекрасно описал, что такое математическое открытие, сказав, что " Тот, кто открыл, что дважды два — четыре, был великим математиком, даже если он открыл это, считая окурки. А тот, кто сегодня считает по той же формуле гораздо большие предметы, например локомотивы, совсем не математик!"

Колмогорова, в отличие от многих других, прикладная, "локомотивная" математика никогда не отпугивала, и он радостно применял математические соображения к самым разным областям человеческой деятельности: от гидродинамики до артиллерии, от небесной механики до стихосложения, от миниатюризации компьютеров до теории броуновского движения, от расходимости рядов Фурье до теории передачи информации и до интуиционистской логики. Он смеялся тому, что французы пишут "Небесная механика" с заглавной буквы, а "прикладная" — с малой.

Когда я впервые приехал в Париж в 1965 году, меня горячо приветствовал престарелый профессор Фреше, со следующими словами: "Ведь Вы — ученик Колмогорова, того молодого человека, который построил пример почти всюду расходящегося ряда Фуръе!"

Упомянутая здесь работа Колмогорова была им выполнена в девятнадцатилетнем возрасте, решила классическую задачу и сразу же выдвинула этого студента в ранг первоклассных математиков мирового значения. Сорок лет спустя это достижение всё ещё оставалось для Фреше более значительным, чем все последующие и гораздо более важные фундаментальные работы Колмогорова, перевернувшие во всем мире и теорию вероятностей, и теорию функций, и гидродинамику, и небесную механику, и теорию аппроксимаций, и теорию алгоритмической сложности, и теорию когомологий в топологии, и теорию управления динамическими системами (где неравенства Колмогорова между производными разных порядков и сегодня остаются одним из высших достижений, хот специалисты по теории управления редко это понимают).

Но сам Колмогоров всегда несколько скептически относился к своей любимой математике, воспринимая её как маленькую часть естествознания и легко отказываясь от тех логических ограничений, которые накладывают на правоверных математиков путы аксиоматически-дедуктивного метода.

"Было бы напрасно, — говорил он мне, — искать в моих работах о турбулентности математическое содержание. Я выступаю здесь как физик и совершенно не забочусь о математических доказательствах или выводах своих заключений из исходных предпосылок, вроде уравнений Навье-Стокса. Пусть эти заключения не доказаны — зато они верны и открыты, а это куда важнее, чем доказать их!"

Многие открытия Колмогорова не только не доказаны (ни им самим, ни его последователями), но даже не опубликованы. Но тем не менее, они уже оказали и продолжают оказывать решающее влияние на целый ряд отделов науки (причём далеко не только математической).

Приведу лишь один знаменитый пример (из теории турбулентности).

Математической моделью гидродинамики является динамическая система в пространстве полей скоростей жидкости, описывающая эволюцию начального поля скоростей частиц жидкости под влиянием их взаимодействия: давления и вязкости (а также под возможным влиянием внешних сил, например, силы веса в случае реки или напора воды в водопроводе).

Под действием этой эволюции динамическая система может придти к равновесному (стационарному) состоянию, когда скорость потока в каждой точке области течения не меняется со временем (хотя всё течёт, и каждая частица движется и меняет со временем свою скорость).

Такие стационарные течения (например, ламинарные течения в терминах классической гидродинамики) являются притягивающими точками динамической системы. Их называют поэтому (точечными) аттракторами (притягивателями).

Возможны и другие притягивающие соседей множества, например — замкнутые кривые, изображающие в функциональном пространстве полей скоростей периодически меняющиеся со временем течения. Аттрактором такая кривая является тогда, когда соседние начальные условия, изображаемые близкими к указанной замкнутой кривой "возмущёнными" точками функционального пространства полей скоростей, начинают хотя и не периодически меняющееся со временем течение, но приближаются к таковому (а именно, возмущённое течение стремится к описанному ранее периодическому с течением времени).

Пуанкаре, впервые открывший это вление, назвал такие замкнутые кривые-аттракторы "устойчивыми предельными циклами". С физической точки зрения их можно назвать периодическими установившимися режимами течения: возмущение постепенно затухает при переходном процессе, вызванном возмущением начального условия, и через некоторое время отличие движения от невозмущённого периодического становится малозаметным.

После Пуанкаре подобные предельные циклы много исследовал А. А. Андронов, основавший на этой математической модели исследование и расчёт генераторов радиоволн, то есть радиопередатчиков.

Поучительно, что открытая Пуанкаре и разработанная Андроновым теория рождения предельных циклов из теряющих устойчивость положений равновесия называется сегодня обычно (даже в России) бифуркацией Хопфа. Э.Хопф опубликовал часть этой теории через пару десятков лет после публикации Андронова и более, чем через полвека после Пуанкаре, но он в отличие от них жил в Америке, так что сработал известный эпонимический принцип: если какой-либо объект носит чьё-либо имя, то это не имя первооткрывателя (например, Америка носит имя не Колумба).

Английский физик М. Берри назвал этот эпонимический принцип "принципом Арнольда", дополнив его ещё вторым. Принцип Берри: Принцип Арнольда применим к самому себе (то есть был известен и раньше).

В этом я с Берри совершенно согласен. Сообщил же я ему эпонимический принцип в ответ на препринт о "фазе Берри", примеры которой, ничуть не уступающие общей теории, за десятки лет до Берри были опубликованы С. М. Рытовым (под названием "инерции направления поляризации") и А.Ю.Ишлинским (под названием "ухода гироскопа подводной лодки вследствие несовпадения пути возвращения на базу с путём ухода от неё"),

Вернёмся, однако, к аттракторам. Аттрактор, или притягивающее множество, — это установившийся режим движения, которое, однако, не обязано быть периодическим. Математики исследовали и куда более сложные движения, которые также могут притягивать возмущённые соседние движения, но которые сами могут быть крайне неустойчивыми: малые причины, вызывают порой большие следствия, говорил Пуанкаре. Состояние, или "фаза", такого предельного режима (то есть точка на поверхности аттрактора) может двигаться вдоль поверхности аттрактора причудливым "хаотическим" образом, и небольшое отклонение начальной точки на аттракторе может сильно изменить ход движения, вовсе не меняя предельного режима. Средние за большие времена от всевозможных наблюдаемых величин будут близкими в исходном и в возмущённом движении, но детали в фиксированный момент времени будут, как правило, совершенно разными.

 

В метеорологических терминах "предельный режим" (аттрактор) можно уподобить климату, а фазу — погоде. Небольшое изменение начальных условий может сильно повлиять на завтрашнюю погоду (а ещё сильнее — на погоды через неделю и через месяц). Но от такого изменения тундра ещё не станет тропическим лесом: просто гроза вместо вторника может разразиться в пятницу, что средних за год (и даже за месяц) может и не изменить.

В гидродинамике степень затухания начальных возмущений характеризуют обычно вязкостью (так сказать, взаимным трением частиц жидкости при их движении одной относительно другой), или же обратной вязкости величиной, называемой "числом Рейнолъдса". Большие значения числа Рейнольдса соответствуют слабому затуханию возмущений, а большие значения вязкости (то есть малые числа Рейнольдса) — напротив, регуляризуют течение, препятствуя возмущениям и их развитию. В экономике роль "вязкости" часто играют взятки и коррупция¹.

¹ Многоступенчатое управление производством неустойчиво, если число ступеней (рабочий, мастер, начальник цеха, директор завода, главк и т.д.) больше двух, но может реализовываться устойчивым образом, если хотя бы некоторые из руководителей поощряются не только сверху (за выполнение приказов), но и снизу (ради пользы дела, за способствующие производству решения). Для последнего поощрения и употребляется коррупция. Подробности см. в статье: В. И. Арнольд. Математика и математическое образование в современном мире. В кн.: Математика в образовании и воспитании. — М.: ФАЗИС, 2000, с. 195-205.

Вследствие большой вязкости, при малых числах Рейнольдса обычно устанавливается устойчивое стационарное (ламинарное) течение, изображаемое в пространстве полей скоростей точечным аттрактором.